Mister雑記

競プロ記事がメインになりますが、内容は気分次第です。

ARC089-C 「Traveling」 (300)

beta.atcoder.jp

概要

AtCoDeerくんは二次元グリッド上に存在し、単位時間毎に隣接する4マスのいずれかに移動できる。ただしその場に留まることはできない。

時刻0にてAtCoDeerくんがマス (0, 0)に存在するとき、各 1 \leq i \leq Nについて時刻 t_iにてマス (x_i, y_i)に存在するような、一連移動経路が存在するか判定せよ。

制約

  •  1 \leq N \leq 10^5
  •  0 \leq x_i, y_i \leq 10^5
  •  1 \leq t_i \lt t_{i + 1} \leq 10^5

解説

この問題は各区間毎に区切り、空間全体を並行移動させることで「時間 t (0, 0)から (x, y)に移動できるか」という問題に帰着できる。

ではこの問題の解はというと、以下の2条件を同時に満たすときにYesとなる。

  •  t \geq |x| + |y|
  •  t \equiv |x| + |y| \hspace{2ex} (\mod 2)

前者はそもそも時刻 tまでに移動できる範囲内に (x, y)がなければいけないという条件。

後者は、「その場に留まることはできない」という条件から来ている。二次元グリッド全体を一松模様になるように白と黒に塗ったとき、1回の移動で必ず白から黒、あるいは黒から白へ移動することになる。よって時刻 tにて自分がいるマスの色が (x, y)の色と違うと必ず到達不能となる。

逆に上の2条件さえ満たしていれば必ず移動は実現できる。具体的には

  • 最短で (x, y)へ移動する
  • 余った時間は (x, y) (x + 1, y)の間をウロウロする

とすればよい。

実装例

#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    int N;
    cin >> N;

    int t[N + 1], x[N + 1], y[N + 1];
    t[0] = x[0] = y[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cin >> t[i] >> x[i] >> y[i];
    }

    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        // 各区間に分割
        int dt = t[i + 1] - t[i];
        int dx = x[i + 1] - x[i];
        int dy = y[i + 1] - y[i];

        int dis = abs(dx) + abs(dy);
        if (dis > dt || dt % 2 != dis % 2) {
            cout << "No" << endl;
            return 0;
        }
    }
    cout << "Yes" << endl;
    return 0;
}